回文子串

647. 回文子串 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 由小写英文字母组成

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

布尔类型的dp[i] [j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i] [j]为true，否则为false。

如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i] [j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1] [j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i] [j]初始化的时候，就初始为false。

dp数组如何初始化

dp[i] [j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i] [j]初始化为false。

确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1] [j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1] [j - 1] 在 dp[i] [j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1] [j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1] [j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1] [j - 1]都是经过计算的。

举例，输入：”aaa”，p[i] [j]状态如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len]; //dp[i][j]表示[i,j]是否为回文子串
        int res = 0;
        for(int i = len-1 ; i >= 0; i--){
            for(int j = i ; j < len; j ++){
                if(chars[i] == chars[j]){
                    if(j - i <= 1){ //长度为1的或2的且相同一定是回文子串，如a，aa
                        dp[i][j] = true;
                        res ++;
                    }else{
                        if(dp[i+1][j-1]){
                            dp[i][j] = true;
                            res ++;
                        }
                    }
                }
                
            }
        }
        return res;
    }
}

中心扩散法

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        
        int res = 0;
        for(int i = 0 ; i < len ; i++){
            res += extend(chars, i, i); //单中心扩散
            res += extend(chars, i, i+1); //双中心扩散
        }
        return res;
    }

    public int extend(char[] chars, int i, int j){
            int res = 0;
            while(i >= 0 && j <= chars.length - 1 && chars[i] == chars[j]){
                res ++;
                i --;
                j ++;
            }
            return res;
        }
}