最长递增子序列（可不连续）

300. 最长递增子序列（可不连续）

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-10^4 <= nums[i] <= 10^4

解题思路

动态规划

1.确定dp数组及下标的含义

dp[i]表示以nums[i]结尾的的最长递增子序列长度

（注意必须要以nums[i]结尾作为递增子序列，故最终结果要取dp[i]中的最大值）

2.递推公式

以nums[i]为结尾的最长递增子序列为用 j 从0遍历到 i - 1各个为位置上的最长递增子序列 + 1中的最大值

故递推公式为

if(nums[i]>nums[j]){
       dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
}

只有nums[i]大于前一个数nums[j]才能作为递增子序列，否则dp[i]为初始值1

3.初始化dp数组

对于每个以 i 结尾的递增子序列，dp[i]至少为1，即不管初试数组多长，每个位置的最长递增子序列至少为1

Arrays.fill(dp,1);

4.确定遍历顺序

从前往后遍历

for(int i = 1 ; i < dp.length; i++){
    for(int j = 0; j < i; j++){
        if(nums[i]>nums[j]){
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
        }
    }
    res = dp[i] > res ? dp[i] : res;
}

dp数组的状态如图

####代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1); //dp数组初始化为1
        int res = 1;
        for(int i = 1 ; i < dp.length; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
                }
            }
            res = dp[i] > res ? dp[i] : res;
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$