买卖股票的最佳时机Ⅲ

123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：

输入：prices = [1]
输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 10^5
0 <= prices[i] <= 10^5

解题思路

此题同[买卖股票的最佳时机Ⅱ](./25. 买卖股票的最佳时机 II.md)的不同点是股票至多可以买卖两次

这意味着可以买卖一次，买卖两次，或者不买卖

1.确定dp数组及下标的含义

一天一共就有五个状态，

0. 没有操作

1. 第一次买入

2. 第一次卖出

3. 第二次买入

4. 第二次卖出

dp[i] [j]中 i 表示第 i 天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i] [j]表示第 i 天状态 j 所剩最大现金。

2.确定递推公式

需要注意：dp[i] [1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票。

达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i-1] [0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]

所以dp[i] [1] = Math.max(dp[i-1] [1], dp[i-1] [0]-prices[i]

同理dp[i] [2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]

所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i] [3] = max(dp[i - 1] [3], dp[i - 1] [2] - prices[i]);

dp[i] [4] = max(dp[i - 1] [4], dp[i - 1] [3] + prices[i]);

3.初始化dp数组

第0天没有操作，即dp[0] [0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0] [1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，所以dp[0] [2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0] [3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0] [4] = 0;

4.确定遍历顺序

从前往后遍历

dp数组的状态如图

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int[][] dp = new int[prices.length][5];
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        //五种状态：0.没有操作 1.第一次买入 2.第一次卖出 3.第二次买入 4.第二次卖出
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][4];
        
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$

• 空间复杂度：$O(n\times 5)$

使用滚动数组优化，压缩空间v

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0) return 0;
        int[] dp = new int[5];
        dp[1] = -prices[0];
        dp[3] = -prices[0];
        //五种状态：0.没有操作 1.第一次买入 2.第一次卖出 3.第二次买入 4.第二次卖出
        for(int i = 1; i < prices.length; i++){
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0]-prices[i]);
            dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1]+prices[i]);
            dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2]-prices[i]);
            dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3]+prices[i]);
        }
        return dp[4]; 
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$

• 空间复杂度：$O(1)$

大家会发现dp[2]利用的是当天的dp[1]， 但结果也是对的。

我来简单解释一下：

dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]); 如果dp[1]取dp[1]，即保持买入股票的状态，那么 dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);中dp[1] + prices[i] 就是今天卖出。

如果dp[1]取dp[0] - prices[i]，今天买入股票，那么dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]) 中的 dp[1] + prices[i] 相当于再卖出股票，一买一卖收益为0，对所得现金没有影响。相当于今天买入股票又卖出股票，等于没有操作，保持昨天卖出股票的状态了。