买卖股票的最佳时机

121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择某一天买入这只股票，并选择在未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

解题思路

方法一

暴力

选择最大差值，但是该方法超时了

class Solution {
    //暴力
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int res = 0;
        for(int i = 0 ; i < prices.length; i++){
            for(int j = i+1; j < prices.length; j++){
                res = Math.max(res, prices[j]-prices[i]);
            }
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(1)$

方法二

贪心

选取左端的最小值为买入点，右端的最大值为卖出点

class Solution {
    //贪心
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int res = 0;
        int low = Integer.MAX_VALUE; 
        for(int i = 0 ; i < prices.length; i++){
            low = Math.min(prices[i], low);
            res = Math.max(prices[i] - low, res);
        }
        return res;
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

方法三

动态规划

1.确定dp数组及下标的含义

dp[i] [0] 表示第 i 天持有股票所得的最多现金

dp[i] [1] 表示第 i 天不持有股票的最多现金

这里的持有不代表当天买入，也可能昨天买入，今天保持持有的状态

2.确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i] [0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [0]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i] [0]应该选所得现金最大的，所以dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i] [1]， 也可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1] [0]

同样dp[i] [1]取最大的，dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], prices[i] + dp[i - 1] [0]);

3.初始化dp数组

由递推公式可知，都要从dp[0] [0] 和dp[0] [1] 推导出来

dp[0] [0] -= -prices[0] ，表示第0天就持有股票，买入股票的所剩金额为负数

dp[0] [1] = 0，表示第0天不持有股票

4.确定遍历顺序

从前往后遍历

dp数组的状态如图

代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        //dp[i][0] 表示第 i 天持有股票所得的最多现金
    	//dp[i][1] 表示第 i 天不持有股票的最多现金
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]); //持有股票可以买当天的或者或者之前已经持有
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]); //不持有股票可以当天卖或之前已经卖掉
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$

• 空间复杂度：$O(n)$

dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态，可以使用滚动数组来节省空间

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[] dp = new int[2];
        //dp[0]表示当天持有股票的最大金额
        //dp[1]表示当天不持有股票的最大金额
        dp[0] = -prices[0];
        dp[1] = 0;
        for(int i = 1; i<prices.length; i++){
            dp[0] = Math.max(dp[0], -prices[i]); 
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i]); 
        }
        return dp[1];
    }
}

• 时间复杂度：$O(n)$

• 空间复杂度：$O(1)$