排列总和/组合总和Ⅳ

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 ：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：

1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4

解题思路

动态规划

此题coins里面的元素可以重复使用，故为完全背包问题

1.确定dp数组及下标的含义

dp[j] 表示凑成金额为 j 使用硬币最少的数量为dp[j]

2.确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - coins[i]] 得到，若考虑coins[i]，那么凑成金额为 j 的最少硬币数量就为dp[j - coins[i]] + 1

而dp[j] 要取所有dp[j] 中的较小者

故递推公式为，dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]]+1)

3.初始化dp数组

非排列组合问题，dp[0] = 0，表示凑成总金额为0的硬币数量最少是0

对于非0下标，dp[j]必须初始化为一个最大值，否则再求最小值时会被0覆盖

只有dp[j-coins[i]] 不为最大值时，才进行比较，因为dp[j-coins[i]]为最大值表示没有方案可以凑成j - coins[i]

4.确定遍历顺序

非排列组合问题，先遍历物品后遍历背包或先遍历背包后遍历物品都可以

这里选先遍历物品，后遍历背包，完全背包问题要从小到大遍历背包

代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        //dp[j] 表示凑成金额为 j 使用硬币最少的数量为dp[j]
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0] = 0; //表示凑成金额为0的最少硬币数为0
        for(int i = 1; i < dp.length; i++){
            dp[i] = Integer.MAX_VALUE; //非0下标初始化为最大值
        }
        
        for(int i = 0 ; i < coins.length; i++){//遍历物品
            for(int j = coins[i]; j<=amount; j++){ //遍历背包
                if(dp[j-coins[i]] != Integer.MAX_VALUE){ //若dp[j-coins[i]]不为初始值才进行比较
                     dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j-coins[i]]+1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount] == Integer.MAX_VALUE) return -1;
        return dp[amount]; 

    }
}

• 时间复杂度：$O(n\times m)$，n为coins.length，m为amount
• 空间复杂度：$O(m)$