一和零

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,”0001”,”1”,”0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,”1”} 和 {“10”,”1”,”0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

提示：

1 <= strs.length <= 600
1 ****<= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成
1 <= m, n <= 100

解题思路

动态规划：01背包问题

本题中把strs中每个字符串都看成是物品，平常的物品重量只有一个维度，而本题的物品重量有两个维度，字符串的0和1的数量就是物品的重量，同理背包能承受的重量同样有两个维度

1.确定dp数组及下标的含义

dp[i] [j]：最多有 i 个0和 j 个1的strs的最大子集的大小

2.确定递推公式

参考01背包的递推公式：dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

可以得到：dp[i] [j] = Math.max(dp[i] [j], dp[i - zeroNum] [j - oneNum] + 1)

zeroNum和oneNum相当于物品的重量weight[i]，如果放得下该物品（字符串），则物品总的value自然+1，表示满足条件的最大的子字符串个数

3.初始化dp数组

01背包问题初始值为0

4.确定遍历顺序

先遍历物品，在遍历背包，背包从容量最大开始遍历

以输入：{“01”, “001”, “111001”, “1”, “0”}，m=3, n=3为例

dp数组的状态如图

代码

class Solution {
    //01背包问题，背包容量有两个维度，重量为m和n
    //把字符串看成物品，重量为0和1的个数，价值为1
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //dp[i][j]表示最多由i个0和j个1的strs的最大子集长度
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        int oneNum, zeroNum;
        for(String s : strs){ //遍历每个字符串，即物品
            oneNum = 0;
            zeroNum = 0;
            for(char c : s.toCharArray()){ //统计字符串中0和1的个数，即物品的重量
                if(c == '0'){
                    zeroNum++;
                }else{
                    oneNum++;
                }
            }
                //倒序遍历背包
            for(int i = m; i >= zeroNum ;i--){
                for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                    //对比1维01背包的通式:dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

• 时间复杂度$O(strs.length() \times m \times n)$
• 空间复杂度：$O(m \times n)$