分割等和子集

416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

解题思路

0-1背包问题，具体参考0-1背包问题

本题中

背包的容量为sum/2

物品的价值和重量均为nums[i]

如果能正好装满背包，说明找到了子集和为sum/2的子集，故可以分割成两个子集的元素和相等

1.确定dp数组及下标的含义

dp[j] 表示容量为 j 的背包最大能凑成的子集和为dp[j]

2.确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

本题相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。

所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

3.初始化dp数组

0-1背包问题都初始化为0

4.确定遍历顺序

先遍历物品，再遍历背包容量，背包容量要逆序遍历

代码

class Solution {
    //01背包问题，背包体积为sum/2，物品的体积和价值均为nums[i]，如果正好能装满背包，返回true
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for(int num : nums){
            sum += num;
        }
        if(sum%2 != 0) return false;//不能平均分
        int target = sum/2;
        int[] dp = new int[target+1]; //dp[i]表示背包容量为i时的最大价值
        for(int i = 0; i < nums.length ; i++){ //遍历物品
            for(int j = target; j>= nums[i]; j--){ //遍历背包容量
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[target] == target;//若正好能装满
    }
}

• 时间复杂度：$O(m × n)$ , m为sum/2，n为nums.length
• 空间复杂度：$O(m)$