不同路径

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1.向右 -> 向下 -> 向下

2.向下 -> 向下 -> 向右

3.向下 -> 向右 -> 向下

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

动态规划

确定dp数组及下标的含义

dp[i] [j] 表示从（0，0）出发到达（i，j）有多少条不同的路径

确定递推公式

当前位置的路径只能由上和左两个方向推出来，因为题目规定了只能向右或向下移动

dp[i] [j] = dp[i-1] [j] + dp[i] [j-1]

3.初始化dp数组

dp[i] [0] = 1，dp[0] [j] = 1，因为从（0，0）到（i，0）只有1条路径，同理（0，0）到（0，j）也只有1条路径

for(int i = 0 ; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0 ; j < n; j++) dp[0][j] = 1;

确定遍历顺序

根据推导公式，从左到右，从上到下层次遍历即可

以输入m=3，n=7为例

dp数组的状态如图

代码

class Solution {
    //动态规划
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        //dp[i][j]表示从(0,0)到(i,j)有几条路径
        for(int i  = 0 ; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < n; j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1 ; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }

}

• 时间复杂度$O(n×m)$
• 空间复杂度$O(n×m)$