斐波那契数

509. 斐波那契数

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 30

动态规划

确定dp数组和下标的含义

dp[i]表示第i个数的斐波那契数值

确定递推公式

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

初始化dp数组

dp[0] = 0，dp[1] = 1

确定遍历顺序

由递推公式，第i个数由第i-2和第i-1个数推出，遍历顺序一定由前往后遍历

代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // return fib01(n);
        return fib02(n);
        // return fib03(n);
    }
    //动态规划
    public int fib01(int n){
        if(n<2) return n;
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2 ;i <=n ;i++){
           dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

又因为每个数值都只依赖于前两个数，可以降低空间复杂度

//降维，空间复杂度O(1)
public int fib02(int n){
    if(n<2) return n;
    int a = 0; 
    int b = 1;
    int sum = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        sum = a + b;
        a = b;
        b = sum;
    }
    return sum;
}

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

//递归
public int fib03(int n){
    if(n<2) return n;
    return fib03(n-2) + fib03(n-1);
}

• 时间复杂度：$O(2^n)$
• 空间复杂度：$O(n)$，递归栈深度